SCIENZE BIOTECNOLOGICHE - metaMOOC Prime Lezioni

Fisica I

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Unit 1 - Grandezze fisiche: spazio e tempo

Avvertenze per gli studenti

Prima di iniziare, desidero chiarire alcuni importanti aspetti didattici relativi a questo corso. Il format prestabilito di questo corso online prevede un’alternanza di brevi video e slide in formato testo, con allegate alcune figure. I video nel loro complesso assommano a meno di 300 minuti, ossia circa 5 ore, molto meno di quanto non durino complessivamente l’insieme delle lezioni di un tipico corso universitario di fisica 1 concepito per presentare il medesimo materiale (cioè non meno di 35 ore, escludendo le esercitazioni). È chiaro quindi che non potete aspettarvi che tutto il materiale venga presentato nei video. I video saranno principalmente utilizzati per introdurre i concetti più importanti delle lezioni e per stimolare l’interesse degli studenti. Anche le slide rappresentano una forte sintesi rispetto ai contenuti che verrebbero presentati in un corso standard (soprattutto in termini di esempi e dettagli) e i test inseriti nelle lezioni non possono sostituire un’adeguata attività esercitativa e valutativa. Pertanto, se intendete utilizzare questo corso per prepararvi ad un esame universitario standard, è indispensabile completare il lavoro sulle lezioni e le slide con lo studio di un buon libro di testo di livello universitario.

Grandezze fisiche: definizione operativa

La fisica, come altre scienze sperimentali, si basa sull’osservazione della realtà che ci circonda. Tuttavia, in fisica non è sufficiente descrivere i risultati delle osservazioni "a parole", in forma qualitativa: è necessario tradurli anche in valutazioni quantitative, ossia numeriche, che consentano di analizzare i fenomeni mediante leggi matematiche. Il termine grandezza fisica indica una proprietà osservabile che può essere espressa in forma quantitativa.

Esempi di grandezze fisiche sono la lunghezza di un oggetto rettilineo (come un'asta o una barra), la distanza tra due punti, l’intervallo di tempo tra due eventi, la massa di un corpo, la velocità di un oggetto in moto, ecc.

In fisica, l’unica definizione rigorosa che si dà di una grandezza fisica è la cosiddetta definizione operativa: la sequenza di operazioni da eseguire per ottenere la valutazione quantitativa, ossia il valore numerico, della grandezza in questione. La sequenza di operazioni della definizione operativa tipicamente include "misure" oppure "calcoli" (a partire da altre grandezze già note) oppure una combinazione di entrambi.

Grandezze fisiche "di spazio": lunghezza e distanza

Una semplice definizione operativa della grandezza lunghezza di un oggetto rettilineo potrebbe essere data come segue: (i) prendere un metro calibrato e precedentemente graduato con "tacche" che ne individuino dei sottomultipli uguali sufficientemente piccoli (ad esempio centimetri); (ii) disporre l'oggetto e il metro paralleli tra loro e far combaciare un estremo dell'oggetto con l'inizio del metro (dove c'è lo "zero"); (iii) leggere il valore della tacca del metro che si trova più vicina alla posizione dell'altro estremo dell'oggetto (ad esempio, 125). Questo è il valore numerico della grandezza (nell’esempio, L = 125 cm). Omettiamo qui per semplicità la questione di come stabilire operativamente se un oggetto è rettilineo e che l'oggetto e il metro sono paralleli.

La grandezza distanza tra due punti (per esempio individuati fisicamente da due piccoli oggetti) può essere definita in modo simile alla precedente, utilizzando un metro (rigido e rettilineo) posto con un estremo (lo zero) in uno dei punti e passante per l'altro (una realizzazione fisica del "segmento rettilineo" che congiunge i due punti). Sarebbe possibile dare anche altre definizioni molto più sofisticate e precise di queste stesse grandezze, ma per comprenderne la validità bisognerebbe conoscere già molta fisica.

La lunghezza di una linea curva (come una strada curvosa) può essere definita scomponendo la curva nella successione di tanti brevi tratti approssimativamente rettilinei e sommando le distanze corrispondenti (questa definizione corrisponde al concetto matematico di integrale).

Grandezze fisiche "complete": valore, incertezza, unità

La valutazione quantitativa di una grandezza fisica non è in realtà costituita solo dal suo valore numerico, ma è la combinazione di più elementi. In particolare, di norma vanno specificati almeno i seguenti tre elementi:

(i) il valore numerico stimato della grandezza,

(ii) l’incertezza (o "errore"), dovuta al fatto che nessuna stima può essere perfetta, e

(iii) l’unità di misura utilizzata nella definizione operativa (più in generale potrebbe essere necessario specificare un intero "riferimento", che include l'unità e altri elementi di cui parleremo più avanti)

Nel nostro esempio, la lunghezza misurata va riportata come segue: L = 125 ± 1 cm

Qui il primo numero indica il valore stimato della grandezza (la tacca più vicina), il secondo (dopo il “±”) indica l’incertezza sul valore stimato (ossia di quanto può essere sbagliata, per esempio la distanza tra le tacche più vicine) e "cm" è la sigla che indica l’unità di misura utilizzata, in questo caso i centimetri.

Incertezza o errore

L’incertezza viene stimata a partire dalle “tacche” dello strumento di misura (errore di sensibilità) oppure dal fatto che il valore della misura non è del tutto stabile ripetendo la misura, ossia fluttua in un certo intervallo (errore di precisione). Nel primo caso normalmente l’incertezza è data dalla distanza tra tacche consecutive (o mezza distanza, se si ritiene di poterla apprezzare), nel secondo caso bisogna utilizzare metodi della statistica per stimarla.

L'incertezza è essenziale perché ci permette di stabilire per esempio se due grandezze fisiche sono uguali (entro l'incertezza) oppure no, valutando cioè se gli intervalli di variazione possibili si sovrappongono almeno in parte o meno. Ad esempio, 125±1 cm e 128.2±3.4 cm sono uguali (più tecnicamente si dice “sono consistenti” o “compatibili” tra loro), mentre 125±1 cm e 129.1±2.2 cm no (in queste slide usiamo il punto decimale e non la virgola, per essere conformi allo standard internazionale)

Se non è necessario essere precisissimi l’incertezza può essere sottintesa, omettendo quindi di specificarla ma avendo cura di scrivere il valore numerico della grandezza con le sole cifre note senza incertezza o al massimo con un’incertezza parziale (cioè che può cambiarle, ma di poco). Le cifre riportate così sono dette cifre significative.

L'unità di misura di lunghezza: il metro

Un elemento essenziale della definizione che abbiamo dato di lunghezza è il metro, ossia una particolare unità di misura di lunghezza. Il procedimento di misura si basa sostanzialmente sul confronto tra la lunghezza da misurare e questa unità.

Una unità di misura si può fissare utilizzando un fenomeno naturale oppure un manufatto dell’uomo, purché sia riproducibile e stabile nel tempo. In passato il metro è stato definito come la quarantamilionesima parte del meridiano terrestre e, successivamente, come la lunghezza di una barra rettilinea di un materiale molto stabile e resistente (come il platino), conservata in un posto sicuro a Parigi. Oggi il metro è invece definito a partire dall'unità di tempo (il secondo, che vedremo più avanti) come la distanza percorsa da un impulso luminoso che si propaga nel vuoto in un tempo pari alla frazione 1/299'792'458 di un secondo.

Ogni unità di misura ha un suo simbolo ben preciso, fissato da convenzioni internazionali. Per il metro è la “m” minuscola. Anche se a volte si utilizzano altri simboli o abbreviazioni (come ad esempio “mt.”, nel caso del metro), questi non sono conformi alle convenzioni internazionali e andrebbero evitati.

Multipli e sottomultipli delle unità

La definizione operativa andrebbe in realtà completata con un procedimento da seguire per costruire i multipli e i sottomultipli dell'unità di misura (ad esempio le “tacche” del metro, come i centimetri). Questo a sua volta si può basare su due elementi: (i) un criterio di confronto, per stabilire se due lunghezze sono uguali oppure no (entro una certa tolleranza); e (ii) un procedimento di somma, per costruire un oggetto rettilineo la cui lunghezza sia per definizione la somma delle lunghezze di altri oggetti rettilinei. Nel caso del metro, il procedimento di somma è dato dall’allineare in sequenza gli oggetti rettilinei da “sommare”. Un multiplo, per esempio un “decametro”, è quindi costruito sommando 10 oggetti uguali (in lunghezza) al metro. Un sottomultiplo, ad esempio un decimetro, si ottiene sommando 10 oggetti rettilinei uguali e verificando che il “totale” è uguale al metro.

Anche per i multipli e sottomultipli esistono simboli stabiliti per convenzione internazionale, in forma di “prefissi” del simbolo delle unità. La tabella seguente riporta i prefissi più importanti, da conoscere a memoria.

Tabella dei prefissi di unità

Conversione delle unità

Nell’esempio di lunghezza abbiamo utilizzato il metro (e il suo sottomultiplo centimetro) come unità di misura, ma avremmo potuto utilizzare anche altre unità definite diversamente. Per esempio, nei paesi anglosassoni si usano ancora spesso unità come il “pollice” (simbolo in, da “inch”), originariamente definito dalla lunghezza media della falange del pollice della mano. Il pollice è un’unità dello stesso tipo del metro, ossia entrambe possono essere usate per misure di lunghezza. Le due unità possono anche essere confrontate direttamente tra loro, misurando l’una mediante l’altra. Il rapporto tra le due è il seguente 1 in = 2.54 cm = 0.0254 m.

Il valore numerico che otteniamo quando eseguiamo una misura dipende dalla scelta dell’unità di misura impiegata e questo è il motivo per cui l'unità va sempre indicata nel risultato, in modo che chi legge possa correttamente interpretare il valore numerico della grandezza. Il valore di una grandezza fisica può essere facilmente convertito da un'unità ad un'altra dello stesso tipo, utilizzando il rapporto noto fra le unità. Nel nostro esempio di lunghezza L = 125 cm = 125/2,54 in = 49,2 in. Per ricordare come usare il rapporto senza confondersi (cioè se dividere o moltiplicare), un trucco efficace è fare le sostituzioni dei simboli di unità come se fossero variabili algebriche (nel nostro caso cm = in/2.54). Un altro modo è ricordare che il valore numerico varia sempre all’inverso di come varia l’unità, ossia cresce se l’unità diminuisce e viceversa.

La grandezza fisica "durata" di un intervallo di tempo e il secondo

Tutte le nostre percezioni sensoriali (comprese le misure effettuate con strumenti scientifici) avvengono in sequenza, con un ordine preciso. Questo ordinamento delle percezioni, e quindi degli eventi che noi vi associamo, è un primo passo nella nostra definizione del tempo. Siamo cioè in grado di dire se un evento avviene prima o dopo un altro oppure se due eventi avvengono simultaneamente (entro una certa tolleranza). Per arrivare ad una definizione operativa è necessario utilizzare anche un orologio, ossia un fenomeno periodico, nel quale una data successione di eventi si ripete costantemente. L’orologio fornisce in pratica una unità di misura con cui confrontare la successione di altri eventi. La durata dell’intervallo di tempo tra due eventi viene definito quantitativamente contando il numero di cicli che l’orologio compie tra essi, usando il criterio di simultaneità per iniziare e terminare il conteggio.

Un “orologio naturale” che abbiamo tutti a disposizione è il nostro battito cardiaco, che ha fornito una prima antica definizione dell’unità di tempo che oggi chiamiamo secondo (simbolo “s”). Tuttavia, la regolarità e riproducibilità della sua oscillazione è chiaramente insufficiente. Un buon orologio richiede una periodicità molto stabile e protratta nel tempo, da verificare confrontando l’andamento di più orologi. La definizione moderna del secondo si basa sulle oscillazioni di un orologio naturale estremamente regolare: una particolare vibrazione elettronica dell’atomo di cesio (isotopo 133). Il secondo è quindi definito oggi come 9'192'631'770 oscillazioni di questa vibrazione del cesio.

Grandezze fondamentali e derivate: sistema internazionale

Abbiamo finora definito le grandezze lunghezza e tempo e le corrispondenti unità di misura, ma esistono un’infinità di altre grandezze fisiche di tipo diverso. Dobbiamo introdurre un’unità diversa per ciascuna di esse? Per fortuna no, perché è possibile ricondurre tutte le infinite possibili grandezze fisiche a poche grandezze fondamentali, che sono le sole per le quali si sceglie di definire le unità a partire da fenomeni naturali (o specifici manufatti). Nel sistema internazionale (SI), definito dalle maggiori organizzazioni di metrologia mondiali, vengono individuate 7 grandezze fondamentali, ma noi ne utilizzeremo in gran parte del corso solo 3: lunghezza, tempo e massa (che definiremo più avanti).

Tutte le altre grandezze fisiche, dette grandezze derivate, possono essere definite operativamente a partire da misure di grandezze fondamentali, mediante calcoli. Quindi anche le loro unità vengono definite mediante calcoli (unità derivate), in particolare prodotti, potenze o rapporti, applicati alle unità delle grandezze fondamentali. Consideriamo tre esempi importanti: (i) l'area A di un quadrato è ottenuta dalla lunghezza del lato L mediante l'espressione A = L²; (ii) la velocità v di un oggetto in moto (come vedremo più avanti) può essere ottenuta dal rapporto tra lo spazio S percorso (un'altra lunghezza) e il tempo impiegato T, ossia v = S/T; (iii) l'area di un cerchio di raggio R è ottenuta dall'espressione A = πR². Le unità corrispondenti sono ottenute mediante lo stesso calcolo che definisce la grandezza applicato alle unità delle grandezze fondamentali: ad esempio, metri quadri (m²) per l'area del quadrato, metri al secondo (m/s) per la velocità. Anche per l'area del cerchio si usano i m², ossia i fattori numerici “puri” (cioè privi di unità) che entrano nelle formule, come il π dell’area del cerchio, vengono ignorati.

Dimensioni delle grandezze

L’analisi della dimensione è una classificazione delle grandezze fisiche. Per prima cosa si introducono simboli per le grandezze fondamentali: [L], [T], [M] sono i simboli delle grandezze lunghezza, tempo e massa. Come abbiamo detto le grandezze derivate sono ottenute mediante calcoli (potenze, moltiplicazioni e divisioni) applicati a partire da grandezze fondamentali. Applicando i medesimi calcoli (ma ignorando gli eventuali numeri puri, in modo simile al caso delle unità derivate) ai simboli delle grandezze fondamentali, si ottiene per qualsiasi grandezza derivata un’espressione dimensionale del tipo [Lⁿ][T^m][M^p], dove n, m e p sono esponenti, interi o frazionari, positivi o negativi. Questa espressione rappresenta “la dimensione” della grandezza. Ad esempio, l’area del cerchio ha dimensione [L²], la velocità [L][T^–1]. Un’espressione del tipo [L⁰][T⁰][M⁰] in particolare caratterizza le grandezze adimensionali, ossia prive di dimensioni (come ad esempio i numeri puri). Un esempio è la misura degli angoli in radianti.

Non bisogna confondere dimensioni e unità, anche se sono concetti collegati. Diverse unità possono corrispondere alla medesima dimensione, come ad esempio il metro (m) e il pollice (in) che sono entrambe unità di lunghezza [L]. L’analisi delle dimensioni è molto utile per verificare la correttezza di possibili equazioni tra grandezze fisiche. In particolare, diverse grandezze possono essere sommate o uguagliate nell’equazione solo se hanno la medesima dimensione.

Unit 2: Descrizione del movimento

Cinematica in una dimensione spaziale

L’argomento che iniziamo adesso è una parte della meccanica nota come cinematica, che è la disciplina che si occupa della descrizione quantitativa del movimento e di definire alcune proprietà importanti associate alla descrizione del movimento, come velocità ed accelerazione.

In particolare, in una prima fase ci occuperemo esclusivamente del movimento di un oggetto lungo un percorso predeterminato descritto da una linea (rettilinea o curva) fissata nello spazio, come avviene per esempio quando un’auto si muove lungo una strada predeterminata. Nel caso in cui la linea che definisce il percorso è rettilinea (un tratto di una retta), si parla di moto rettilineo. Nel caso più generale in cui la linea può essere anche curva lo chiameremo moto lineare. Questi casi vengono definiti “ad una dimensione spaziale”, in quanto per descrivere il moto è necessaria una sola variabile (o coordinata). Nella prossima lezione passeremo invece al caso generale, con tre dimensioni spaziali.

La grandezza "posizione" di un oggetto e lo "spazio"

Il primo passo da fare per poter descrivere il movimento è definire (quantitativamente) la grandezza fisica posizionedi un oggetto. Supponiamo per esempio di voler specificare la posizione a un certo istante di un’auto che sta percorrendo una determinata strada (ad esempio l’autostrada Napoli-Roma). Per farlo possiamo usare la lunghezza della strada misurata a partire da un punto di riferimento, ad esempio il casello di Napoli, fino alla posizione attuale dell’auto.

Questo esempio fa capire quali siano gli ingredienti indispensabili per definire la posizione dell’oggetto lungo la strada: (i) una misura di lunghezza o distanza (e quindi le corrispondenti unità di misura); (ii) una “origine” fissata lungo la strada, che faccia da punto di riferimento a partire dal quale misurare la lunghezza fino all’oggetto; (iii) un’orientazione convenzionale della strada da utilizzare nella misura di lunghezza (nel nostro esempio da Napoli verso Roma); quest’ultima serve per distinguere le posizioni che si trovano ai due lati dell’origine, anche se sono alla stessa distanza da questa. Infatti, se per andare dall’origine all’oggetto si procede concordemente all’orientazione scelta, la posizione viene presa positiva. Se invece si procede all’opposto, la posizione viene presa negativa. Nel nostro esempio, le posizioni negative possono servire ad indicare un’auto che viaggiando verso Roma ancora deve raggiungere il casello di Napoli.

Il termine generico “spazio” è utilizzato per indicare l’insieme di tutte le possibili posizioni degli oggetti di cui studiamo il movimento.

Sistema di riferimento

Gli elementi necessari alla definizione quantitativa della posizione mediante misure di lunghezza costituiscono un “sistema di riferimento” per il moto lineare, ossia il moto che si svolge lungo una linea prestabilita, come una strada. Il caso più semplice è il caso di una strada rettilinea, senza curve. In questo caso il sistema di riferimento è rappresentabile graficamente utilizzando un asse rettilineo (figura 1), ossia una retta dotata di un orientamento o “verso” (indicato con una freccia lungo la retta), sulla quale sia stato scelta una origine O. Inoltre, come abbiamo detto, serve una scelta dell’unità di misura, che però non viene di solito considerata parte del sistema di riferimento in senso stretto, in quanto è già parte della misura di lunghezza (oppure la sua presenza viene sottintesa). La grandezza posizione corrisponde in questo modo alla lunghezza del segmento “orientato” OP, con un segno positivo se OP è orientato concordemente all’asse e negativo se è orientato nella direzione opposta (figure 2 e 3). Nel seguito di questa lezione indicheremo con il simbolo x la grandezza posizione (detta anche coordinata), ossia si ha x = ±OP con ± determinato dal verso di OP. Lo stesso simbolo indica anche l’asse di riferimento.

In realtà lo stesso approccio può essere applicato anche al moto lungo una strada curvosa. In questo caso la retta viene sostituita da una linea curva con la forma della strada, con un’origine e un orientamento come nel caso precedente. In questo caso la rappresentazione del sistema di riferimento viene detta asse curvilineo (figura 4). La posizione x è in questo caso la lunghezza della curva che va da O a P, con il segno determinato come nel caso precedente.

Figura 1: asse rettilineo
Figura 2: posizione positiva
Figura 3: posizione negativa
Figura 4: asse curvilineo

Il "punto materiale"

Abbiamo introdotto la grandezza posizione facendo l’esempio di un’auto che percorre una strada. Però l’auto non è un “punto”, ha una sua estensione. Per definire la posizione x dobbiamo considerare l’inizio dell’auto (il paraurti anteriore)? Oppure il centro dell’auto o il paraurti posteriore? La risposta è che nella maggioranza dei casi non ha importanza cosa si sceglie di usare, perché la precisione con cui vogliamo descrivere il moto dell’auto è in realtà minore della lunghezza dell’auto stessa, ossia ci interessa specificare la posizione solo entro una tolleranza di una decina di metri.

In casi del genere, l’estensione dell’oggetto può essere ignorata e quindi possiamo parlare dell’auto come se fosse un singolo punto. Un “punto” che rappresenta la schematizzazione di un oggetto in movimento viene detto punto materiale. Si può usare questa semplificazione ogni volta che l’estensione dell’oggetto è molto piccola rispetto alle altre lunghezze che entrano in gioco nel problema (per esempio la lunghezza della strada) e della lunghezza minima che definisce la precisione con cui è necessario descrivere il moto (a seconda dell’uso che dovremo farne). Più avanti vedremo come andare oltre questa semplificazione, quando è necessario descrivere il moto di oggetti estesi.

Grandezza "tempo"

Un oggetto fermo ha una posizione che non cambia nel tempo, ossia se la misuriamo più volte in successione otteniamo sempre lo stesso valore. Il movimento di un oggetto corrisponde invece al fatto che la sua posizione è variabile nel tempo, come discuteremo nella prossima slide. Ma cosa intendiamo esattamente per “tempo”?

Come per il caso della grandezza posizione definita a partire dalla grandezza lunghezza, la grandezza fisica tempo (simbolo t) può essere definita a partire dalla grandezza durata dell'intervallo di tempo già definita in precedenza. Questo richiede però di definire preliminarmente un istante di riferimento, detto origine dei tempi (per esempio l’istante in cui facciamo partire un cronometro) per il quale vale t = 0, e poi misurare l’intervallo di tempo tra questo istante e quello dell’evento per il quale vogliamo definire la grandezza tempo. Il segno va preso positivo o negativo a seconda che l’evento in questione sia successivo o precedente l’origine dei tempi.

Il movimento: legge oraria

Come abbiamo detto, il movimento (o “moto”) di un oggetto corrisponde al fatto che la sua posizione è variabile nel tempo. Quindi una descrizione completa del moto di un oggetto (punto materiale) richiede di specificare la sua posizione per tutti gli istanti di tempo, almeno in un certo intervallo temporale di interesse.

Questo fatto viene rappresentato mediante un’espressione del tipo x(t), che indica una relazione funzionale tra il tempo t (variabile indipendente) e la posizione x (variabile dipendente), ossia una regola che consente di conoscere la posizione x per qualsiasi valore del tempo t scelto all’interno dell’intervallo temporale di interesse. Questa relazione funzionale è denominata legge oraria.

Rappresentazioni del movimento

Ma in pratica come viene specificata la funzione x(t) che descrive un dato moto? Ci sono fondamentalmente tre modi per farlo:

1) Con una tabella numerica, in cui per una data sequenza di valori del tempo t si riporta la corrispondente posizione x (figura 1). Questo metodo è ad esempio utilizzato normalmente quando il moto viene misurato (cioè la posizione è misurata ad intervalli regolari di tempo) oppure quando viene calcolato mediante metodi numerici. Si tratta chiaramente di una rappresentazione incompleta, ma se la tabella è sufficientemente “densa” questo non rappresenta un vero problema.

2) Con un grafico, detto diagramma orario. Il grafico è tipicamente fatto con il tempo t come ascissa e la posizione x come ordinata, come mostrato ad esempio in figura 2.

3) Con un’espressione matematica analitica della funzione, ossia una formula basata sulle operazioni elementari (somma, prodotto, potenza, ecc.), le funzioni elementari (come seno, coseno, esponenziale, logaritmi, ecc.) ed eventuali altri simboli matematici. Un esempio è riportato in figura 3.

Figura 1: tabella numerica del moto
Figura 2: grafico del moto
Figura 3: espressione matematica del moto

Correttezza dimensionale di una relazione funzionale

Nel caso si utilizzi la rappresentazione del moto mediante un’espressione matematica è importante che questa sia scritta in modo dimensionalmente corretto. Questo significa per esempio che l’espressione dimensionale di x(t) deve ridursi ad una lunghezza [L] (dato che la posizione x ha le stesse dimensioni della lunghezza).

Per esempio, l’espressione x(t) = 2t è dimensionalmente scorretta, perché il membro a destra ha le dimensioni di un tempo (ossia [T]), dato che il numero 2 è puro, mentre il membro a sinistra ha le dimensioni di lunghezza [L]. Un’espressione simile corretta potrebbe essere invece x(t) = ct, dove c è una costante con le dimensioni [L][T^–1] (ossia una velocità). Il valore numerico di c dipende dalle unità utilizzate, per cui può essere ad esempio c = 2 m/s, ma questo non rende affatto l’espressione equivalente a quella precedente, che non contiene le unità. Con altre unità si avranno valori numerici diversi per la stessa costante, ad esempio c = 200 cm/s, oppure c = 7.2 km/h.

La correttezza dimensionale dell’espressione matematica richiede inoltre che termini che vengono sommati o sottratti tra loro devono necessariamente avere la stessa espressione dimensionale. Inoltre, gli argomenti delle funzioni elementari devono essere sempre adimensionali, perché altrimenti il loro valore numerico cambierebbe a seconda della scelta (arbitraria) di unità e questo cambierebbe il risultato della funzione.

Moti particolari: la quiete

Il caso in assoluto più semplice di movimento è quello che corrisponde a “nessun movimento”, ossia al caso in cui l’oggetto è fermo, cioè la sua posizione non varia nel tempo. In questo caso la funzione x(t) si riduce ad una costante, ossia

x(t) = x₀

dove x₀ è un simbolo introdotto per rappresentare la costante. Va notato che x₀ coincide ovviamente anche con la posizione x(0) che si ha all’istante “iniziale” t = 0, il che motiva la scelta del simbolo.

Il grafico corrispondente è rappresentato in figura, dove si vede che lo stato di quiete è descritto da una retta orizzontale.

Figura: diagramma orario dello stato di quiete

Moti particolari: il moto (rettilineo) uniforme

La quiete è un caso banale di movimento, di scarso interesse. Decisamente più interessante è il moto noto come moto uniforme (oppure moto rettilineo uniforme, quando si svolge lungo un asse rettilineo) descritto in generale dalla seguente espressione matematica:

x(t) = vt + x₀

dove v e x₀ sono due costanti. Graficamente, tale moto corrisponde ad una retta inclinata (alcuni esempi sono nelle figure). La costante x₀ corrisponde ancora al valore x(0), ossia la posizione al tempo iniziale t = 0. La costante v è il coefficiente angolare della retta, che ne fissa la pendenza. Fisicamente, il valore di v determina quanto rapidamente la posizione varia con il tempo. Essa è nota come velocità del moto uniforme. Il concetto di velocità è molto importante e verrà generalizzato a moti qualsiasi più avanti. Il valore di v può essere positivo (x crescente, ossia il moto si svolge nel verso dell’asse x) o negativo (x decrescente, ossia il moto si svolge nel verso opposto). Per v = 0 il moto uniforme si riduce al caso di quiete.

Un oggetto che si muove a velocità costante ha un moto uniforme, come dimostreremo più avanti.

Figura 1: esempio di moto uniforme
Figura 2: esempio di moto uniforme
Figura 3: esempio di moto uniforme
Figura 4: esempio di moto uniforme

Unit 3: Velocità, accelerazione e moti particolari importanti

Spostamento e spazio percorso

Consideriamo un intervallo di tempo (t₁, t₂), dove t₁ indica l’istante iniziale e t₂ quello finale. Le corrispondenti posizioni dell’oggetto ai due estremi dell’intervallo di tempo siano x₁ = x(t₁) e x₂ = x(t₂). Definiamo

spostamento nell’intervallo (t₁, t₂): $spostamento$

Lo spostamento quindi è la variazione di posizione, che coincide con la distanza d_1,2 tra il punto iniziale x₁ e quello finale x₂ con l’aggiunta di un segno positivo o negativo a seconda che x₂ sia più avanti o più indietro rispetto a x₁ nel verso dell’asse di riferimento (figure 1 e 2). Quindi si ha Δx = ±d_1,2 e d_1,2 = |Δx|. Un’importante proprietà dello spostamento è che non dipende dalla scelta dell’origine O del sistema di riferimento. Infatti, se cambiamo origine, x₁ e x₂ cambiano della stessa quantità e la loro differenza non cambia.

Un concetto collegato ma non equivalente allo spostamento è lo spazio percorso Δs dall’oggetto in moto per lo stesso intervallo di tempo. In particolare, se l’oggetto non inverte mai la direzione del suo moto, poniamo per definizione Δs = d_1,2 = |Δx| (figure 1 e 2). Se invece l’oggetto inverte la direzione di moto una o più volte, lo spazio percorso è definito dalla somma degli spazi percorsi in ciascun “sottointervallo” in cui il verso di moto era unico (figure 3 e 4).

Figura 1: esempio spostamento in avanti
Figura 2: esempio spostamento all'indietro
Figura 3: esempio spostamento con cambio direzione
Figura 4: esempio spostamento nullo

La velocità media

Abbiamo visto che il moto uniforme è definito introducendo una costante che ne caratterizza la velocità. Il concetto di velocità di un moto è però del tutto generale, come sappiamo dall’esperienza comune, e quindi vogliamo darne una definizione che sia applicabile ad un moto qualsiasi, non necessariamente uniforme (a volte detto “moto vario”). Introduciamo prima il concetto più semplice di velocità media di un moto x(t) per un dato intervallo di tempo (t₁, t₂). Consideriamo la durata Δt = t₂ – t₁ dell’intervallo di tempo e lo spostamento corrispondente Δx = x₂ – x₁. La velocità media nell’intervallo in questione è definita come segue:

velocità media: $velocità media$

Quindi la velocità media associata ad un certo intervallo di tempo è lo spostamento dell’oggetto in quell’intervallo diviso per la durata. Se il moto è “in avanti” (concorde con l’asse) e non cambia direzione nell’intervallo di tempo considerato possiamo anche sostituire lo spostamento Δx con lo spazio percorso Δs, per cui si ha v_m = Δs/Δt. Se il moto è all’indietro va aggiunto un segno meno. Se invece il moto inverte la sua direzione una o più volte nell’intervallo considerato, il rapporto Δs/Δt non corrisponde più alla velocità media.

La velocità istantanea

La velocità media è riferita ad un intervallo di tempo finito (t₁, t₂), e non ad un singolo istante. È possibile parlare anche di velocità di un oggetto in movimento ad un singolo istante di tempo? La risposta è affermativa e si basa sul concetto matematico di limite: la velocità istantanea, o più semplicemente velocità (senza aggettivi), è infatti definita come la velocità media nel limite di un intervallo di tempo “infinitesimo”, ossia tendente a zero, centrato (o con un estremo) nell’istante di tempo t considerato:

velocità (istantanea): $velocità come derivata di posizione$

La velocità istantanea corrisponde quindi alla derivata rispetto al tempo della funzione x(t) che descrive il moto (indicata anche con un “punto” posto sopra la x), che è appunto il limite del rapporto incrementale che definisce la velocità media per l’intervallo di tempo (t , t+Δt). Si usa anche dire che la velocità è lo spostamento per unità di tempo, anche se questa definizione sottintende che il rapporto va fatto in realtà utilizzando una piccola frazione dell’unità di tempo. Le unità di velocità nel sistema internazionale sono i metri al secondo, simbolo m/s. Anche la velocità è una funzione del tempo v(t) e fornisce un’importante proprietà del movimento, indipendente dalla scelta dell’origine del sistema di riferimento.

Velocità (istantanea) scalare

Notiamo che la velocità definita nella slide precedente include un segno che indica il verso istantaneo del moto (positivo se concorde con l’asse e negativo se opposto). È utile definire anche una velocità “positiva per definizione”, ossia la cosiddetta

velocità scalare: $velocità scalare$

dove nell’ultima espressione abbiamo introdotto lo spazio percorso infinitesimo ds e abbiamo usato il fatto che ds = |dx|, valida perché nel limite di un intervallo di tempo infinitesimo il moto non può cambiare la sua direzione. La velocità scalare può essere definita quindi come lo spazio percorso per unità di tempo (sempre con il sottinteso di dover usare in realtà una piccola frazione dell’unità di tempo).

La distinzione tra velocità e velocità scalare sembra per il momento una sottigliezza di scarsa importanza, ma la differenza diventerà molto più importante quando passeremo al moto nello spazio tridimensionale, nella prossima lezione. A volte si usa il simbolo v per indicare la velocità scalare anziché quella con il segno e quest’ultima viene allora indicata con v_x. Questa diventerà la convenzione standard nella prossima lezione.

Rappresentazione grafica della velocità

Se rappresentiamo un moto in un diagramma orario, la velocità istantanea in un dato istante corrisponde al coefficiente angolare (= “pendenza”) della retta tangente alla curva che descrive il moto per quell’istante di tempo. Questo fatto è mostrato in figura in alcuni esempi. In particolare, una velocità istantanea positiva corrisponde ad una curva che sta “salendo” (quindi ad un moto in avanti lungo l’asse), mentre una velocità istantanea negativa corrisponde ad una curva che sta “scendendo” (moto indietro rispetto al verso dell’asse).

Un istante in cui la velocità si annulla corrisponde ad un punto in cui la tangente è orizzontale. Se la curva che rappresenta il moto presenta un massimo oppure un minimo, nel punto di massimo o di minimo avrà una tangente orizzontale e quindi una velocità nulla. Questi punti sono molto importanti perché in corrispondenza di essi il moto inverte la sua direzione.

Notiamo in particolare che nel moto uniforme la velocità istantanea è la stessa per qualsiasi istante di tempo (ossia è costante) e corrisponde proprio alla velocità v introdotta nell’espressione matematica utilizzata per definirlo.

Figura: rappresentazione grafica della velocità

Determinare il moto a partire dalla velocità

Immaginiamo, per un dato problema, di non conoscere il moto dell’oggetto in movimento ma solamente la sua velocità v(t) per ciascun istante di tempo. È possibile determinare il moto x(t) dell’oggetto? La risposta è affermativa, ma con alcune condizioni. Infatti, partendo dalla definizione di velocità come derivata e dal fatto che l’operazione inversa della derivata è l’integrale, possiamo ricavare facilmente la seguente relazione inversa:

moto dalla velocità: $posizione come integrale di velocità$

dove abbiamo scelto un istante t₀ qualsiasi e abbiamo posto x₀ = x(t₀). In particolare, si può usare l’istante iniziale t₀ = 0 e in questo caso x₀ rappresenta la posizione iniziale. Una formula analoga si può determinare utilizzando l’integrale indefinito invece di quello definito. È chiaro quindi che il moto può essere ricostruito completamente dalla velocità a patto di conoscere anche la posizione ad un singolo istante di tempo, per esempio quella iniziale.

Moto uniforme determinato a partire da velocità istantanea costante

Consideriamo il caso semplice di un moto del quale sappiamo che la velocità istantanea è costante, ossia è sempre la stessa per qualsiasi istante di tempo. Si ha cioè v(t) = v = costante. Applicando l’integrazione descritta nella slide precedente otteniamo il moto seguente:

$x(t)=x_0+\int_{t_0}^{t}vdt' = x_0+v(t-t_0)$

Nel caso t₀ = 0, questa espressione coincide con quella che abbiamo utilizzato per definire il moto uniforme con velocità v. In realtà, anche nel caso in cui t₀ ≠ 0 possiamo ricondurci alla medesima espressione se facciamo la sostituzione $x_0-vt_0 \rightarrow x_0$ , ossia ridefiniamo la costante x₀ come il valore x(0) anziché il valore x(t₀).

Accelerazione

Quando diciamo che un’automobile va, per esempio, da 0 a 100 km/h in 10 s stiamo dando un’indicazione di quanto rapidamente l’auto è in grado di variare la propria velocità (partendo da ferma). Questo concetto di rapidità di variazione della velocità è denominato accelerazione. Si può definire un’accelerazione media in modo analogo alla velocità media, ma qui preferiamo passare direttamente al concetto più importante di

accelerazione (istantanea): $accelerazione$

L’accelerazione corrisponde quindi alla derivata rispetto al tempo della funzione v(t) che descrive la velocità e quindi anche alla derivata seconda rispetto al tempo della funzione x(t) che descrive il moto (indicata anche con due punti posti sopra la x). Le unità di accelerazione nel sistema internazionale sono i metri al secondo per secondo, ossia metri al secondo quadro, simbolo m/s². Anche l’accelerazione è una funzione del tempo a(t) e fornisce un’altra importante proprietà del movimento.

Significato grafico dell'accelerazione

Nel diagramma orario l’accelerazione è meno facile da rappresentare graficamente in modo preciso. Un’idea qualitativa comunque può essere ottenuta partendo dal fatto che in assenza di accelerazione, ossia per a(t) = 0, la velocità è costante e quindi il moto è uniforme. In questo caso il diagramma orario si riduce ad una retta. Quindi l’accelerazione può essere associata alla deviazione della curva che rappresenta il moto rispetto ad un andamento rettilineo, ossia alla curvatura del diagramma orario. Una curvatura concava verso l’alto corrisponde ad un’accelerazione positiva, una curvatura concava verso il basso (convessa verso l’alto) corrisponde ad un’accelerazione negativa. In figura è indicato un possibile metodo di rappresentazione grafica dell’accelerazione mediante archi tangenti di cerchio (il cosiddetto “cerchio osculatore”) che presentano nel punto di contatto la stessa curvatura della curva.

Figura: significato grafico dell'accelerazione

Determinare il moto a partire dall'accelerazione

Immaginiamo di conoscere l’accelerazione a(t) per ciascun istante di tempo di un moto e di voler determinare il moto x(t). Possiamo invertire le derivate utilizzando integrali e quindi con un primo passo trovare

velocità dall’accelerazione: $v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}a(t')dt'$

dove abbiamo scelto un istante t₀ qualsiasi e abbiamo posto $v_0=v(t_0)$ . Vediamo quindi che la velocità in funzione del tempo può essere ricostruita dall’accelerazione a patto di conoscerne il valore per un singolo istante di tempo, per esempio all’inizio.

Per ricostruire anche il moto x(t) a questo punto possiamo ricordare quello che abbiamo già visto sulla ricostruzione del moto dalla velocità, che richiede la conoscenza di una posizione x₀. È chiaro quindi che il moto può essere ricostruito completamente dall’accelerazione a patto di conoscere sia la posizione che la velocità ad un singolo istante di tempo, per esempio quello iniziale.

Moti particolari: moto uniformemente accelerato

Consideriamo il caso semplice di un moto del quale sappiamo che l’accelerazione è costante, ossia è sempre la stessa per qualsiasi istante di tempo. Si ha cioè a(t) = a = costante. Applicando il metodo descritto nella slide precedente otteniamo velocità e posizione in funzione del tempo:

velocità moto uniformemente accelerato: $v(t)=v_0+a(t-t_0)$

posizione moto uniformemente accelerato: $x(t)=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2$

Le costanti v₀ e x₀ in queste espressioni hanno il significato di velocità e posizione al tempo t₀. Spesso possiamo scegliere t₀ = 0 (oppure equivalentemente ridefinire il significato delle due costanti x₀ e v₀) e semplificare ulteriormente queste espressioni. La figura riporta alcuni esempi di moto uniformemente accelerato per diversi valori di a e v₀.

Il moto uniformemente accelerato contiene il moto uniforme come caso particolare che si ottiene per a = 0. E ovviamente anche la quiete, che si ottiene per a = 0 e v₀ = 0.

Figura 1: esempio di moto uniformemente accelerato
Figura 2: esempio di moto uniformemente accelerato
Figura 3: esempio di moto uniformemente accelerato
Figura 4: esempio di moto uniformemente accelerato

Moti particolari: moto verticale

Un caso particolare di moto uniformemente accelerato è quello descritto da un corpo lanciato o lasciato cadere in moto verticale sotto l’effetto della gravità. Infatti, un moto del genere è caratterizzato da un’accelerazione costante verso il basso, detta accelerazione di gravità (trascurando l’attrito dell’aria), spesso indicata con il simbolo g, e che vale con buona approssimazione g = 9.8 m/s^2.

Se scegliamo un asse x orientato verso l’alto e poniamo t₀ = 0 (istante di lancio), le formule che descrivono il moto durante il volo sono le seguenti:

$a=-g$

$v=v_0-gt$

$x=x_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2$

(dove le dipendenze dal tempo delle tre funzioni sono state sottintese). I problemi specifici di moto verticale variano tra loro soprattutto per le condizioni iniziali (quota di lancio e velocità iniziale) e per la domanda posta (ad esempio: quota massima raggiunta, tempo di caduta, velocità di impatto con il suolo, ecc.).

Moti particolari: moto uniformemente accelerato a tratti

In molti problemi reali il moto può essere considerato uniforme oppure uniformemente accelerato solo per intervalli di tempo finiti, per poi cambiare. Per esempio, un’auto che viaggia a velocità costante descrive un moto uniforme per un certo intervallo di tempo. Però ad un certo istante, che corrisponde al termine dell’intervallo precedente e segna anche l’inizio di un nuovo intervallo di tempo, l’auto inizia ad accelerare con accelerazione costante (o decelerare, ossia accelerare in direzione opposta alla velocità) per cui il moto diventa uniformemente accelerato. Al termine di questo secondo intervallo di tempo l’auto riprende per esempio un moto uniforme (oppure se stava decelerando potrebbe proprio fermarsi) per un terzo intervallo, e così via (si veda esempio in figura).

Per descrivere un moto suddiviso in intervalli come questo si devono usare espressioni matematiche diverse della x(t) per ciascun intervallo. Di norma ciascun intervallo deve essere collegato al precedente in modo che la posizione e la velocità finali dell’intervallo precedente devono coincidere con la posizione e la velocità iniziali dell’intervallo successivo (condizione di continuità del moto). Infatti, è impossibile che un oggetto cambi improvvisamente la sua posizione oppure la sua velocità. Tuttavia, a volte sono considerati anche esempi con discontinuità del moto, che sono utilizzate per rappresentare in forma semplificata variazioni così rapide da poter trascurare l’intervallo di tempo in cui esse avvengono.

Figura: esempio di moto uniformemente accelerato a tratti

Moti particolari: moto esponenziale smorzato 1

Oltre ai moti particolari discussi finora (quiete, moto uniforme, moto uniformemente accelerato, moto ad intervalli), ne esistono altri che si incontrano frequentemente nello studio della meccanica e che sono caratterizzati dal fatto che due grandezze cinematiche, ad esempio posizione e velocità, sono in una data relazionetra loro. Un primo esempio è il moto descritto in generale dalla seguente legge oraria:

moto esponenziale smorzato: $x(t)=A e^{-\gamma t}+B$

(figura 1) dove γ, A e B sono costanti (con γ>0). Calcoliamo anche la velocità e l’accelerazione di questo moto:

velocità: $v(t)=-\gamma A e^{-\gamma t}$

accelerazione: $a(t)=\gamma^2 A e^{-\gamma t}$

Confrontando queste espressioni tra loro vediamo che il moto esponenziale è caratterizzato dalla seguente relazione tra velocità e accelerazione per moto esponenziale: $a(t)=-\gamma v(t)$

Figura 1: esempio di moto smorzato

Moti particolari: moto esponenziale smorzato 2

Questa relazione è un primo esempio di equazione differenziale, cioè un’equazione la cui incognita non è un singolo valore numerico, ma un’intera funzione x(t) [oppure la velocità v(t)] e in cui appaiono le derivate della funzione incognita. Esplicitando le derivate (in notazione con il punto), l’equazione differenziale (in due forme equivalenti) è la seguente:

equazione differenziale moto esponenziale: $\dot{v}=-\gamma v \;\;\;\; \iff \;\;\;\; \ddot{x} =-\gamma \dot{x}$

Se sappiamo che un certo moto incognito obbedisce a questa relazione tra accelerazione e velocità, cioè a questa particolare equazione differenziale, con un dato γ, possiamo immediatamente concludere che il moto è proprio del tipo esponenziale smorzato. Si dimostra infatti che il moto esponenziale è la soluzione generale di questa equazione differenziale, ossia è un’espressione che descrive tutte le soluzioni possibili (al variare delle costanti A e B). Ispezionando l’equazione, veniamo a conoscere anche la costante γ, che è proprio la costante di proporzionalità tra accelerazione e velocità (cambiata di segno).

E le costanti A e B? Per conoscere anche queste, è necessario sapere anche la posizione e la velocità ad un singolo istante di tempo, per esempio quello iniziale. È facile verificare infatti che $A=-v_0/\gamma$ e $B=x_0-A$ (avendo posto t₀ = 0).

Moti particolari: moto esponenziale smorzato 3

La costante γ fissa a sua volta il tempo caratteristico di smorzamento τ del moto, cioè il tempo che è necessario attendere perché la velocità si riduca di un fattore prestabilito (figura 2). Ad esempio, se usiamo come fattore prestabilito la costante di Nepero e (≈ 2.7), si ha τ = 1/γ.

La riduzione della velocità di un qualsiasi fattore F si ha invece dopo un tempo $\tau_F = \ln{F}/\gamma$ .

Figura 2: velocità moto smorzato e tempo caratteristico

Moti particolari: moto armonico 1

Il moto armonico (o “sinusoidale”) è definito in generale dalla seguente legge oraria, che descrive oscillazioni sinusoidali nel tempo (figure 1 e 2):

moto armonico (espr. 1): $x(t)=A \sin (\omega t + \varphi)$

dove ω, A e φ sono tre costanti. Altre due espressioni matematicamente equivalenti a questa che usano costanti in parte “diverse” sono le seguenti:

moto armonico (espr. 2): $x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)$

moto armonico (espr. 3): $x(t)=B \sin (\omega t) + C \cos (\omega t)$

La (2) diventa equivalente alla (1) se si pone $\varphi' = \varphi -\pi/2$ (la costante A è la stessa). La (3) è equivalente alla (1) se si pone B = A cos(φ) e C = A sin(φ).

Figura 1: moto armonico
Figura 2: moto armonico con frequenza più alta

Moti particolari: moto armonico 2

L’argomento del seno nell’espressione del moto armonico, cioè Φ(t) = ωt + φ, prende il nome di fase dell’oscillazione, perché determina cosa stia facendo l’oscillazione in ciascun dato momento: una Φ=π/2+2nπ con n intero qualsiasi, corrisponde ad un massimo dell’oscillazione; una Φ=–π/2+2nπ ad un minimo; Φ=2nπ ad uno zero. La costante φ viene detta fase iniziale.

La costante ω viene denominata frequenza angolare (o pulsazione) e si misura in rad/s. Essa definisce quanto è rapida l’oscillazione, cioè quante oscillazioni avvengono in un tempo prestabilito (figure 1 e 2 slide precedente). Per la precisione, dato che il seno si ripete ogni 2π, è chiaro che il numero di oscillazioni che si verificano in un tempo unitario è dato da f = ω/(2π), una quantità nota come frequenza ciclica (o frequenza, senza aggettivi). Frequenza angolare e frequenza (ciclica) sono sostanzialmente la stessa grandezza fisica misurata in unità “angolari” diverse, la prima in radianti e la seconda in cicli (= angoli giri = 2π rad) al secondo. L’unità di frequenza ciclica è quindi “cicli”/s, che prende anche il nome di Hertz(Hz). Ad esempio, 100 Hz corrispondono a 100 oscillazioni ogni secondo.

Il moto armonico è un caso particolare di moto periodico, ossia un moto che si ripete identico ogni volta che passa un certo tempo T, detto periodo (figura 1 slide precedente). La frequenza angolare o ciclica fissa il periodo tramite la relazione T= 1/f = 2π/ω.

Infine, la costante A fissa l’ampiezza del moto armonico, dato che l’oscillazione avviene tra le posizioni x= –A e x= +A (figura 1 slide precedente).

Moti particolari: moto armonico 3

Calcoliamo ora velocità e accelerazione del moto armonico (usando l’espressione 1):

velocità: $v(t)=\omega A \cos (\omega t +\varphi)$

accelerazione: $a(t)=-\omega^2 A \sin (\omega t + \varphi)$

Confrontando queste relazioni e il moto stesso, vediamo che in questo caso vale la seguente relazione tra posizione e accelerazione per moto armonico: $a(t)=-\omega^2 x(t)$ ; oppure, esplicitando le derivate, la seguente

equazione differenziale moto armonico: $\ddot{x}=-\omega^2 x$

Se un certo moto incognito obbedisce a questa relazione tra accelerazione e posizione, cioè a questa particolare equazione differenziale, per un dato valore di ω, possiamo immediatamente concludere che il moto è proprio del tipo armonico. Si dimostra infatti che il moto armonico è la soluzione generale di questa equazione differenziale, ossia descrive tutte le soluzioni possibili (al variare delle costanti A e φ). L’equazione fissa anche la costante ω, che è la radice quadrata della costante di proporzionalità tra accelerazione e posizione (cambiata di segno).

E le costanti A e φ? Anche in questo caso, per conoscerle è necessario sapere la posizione e la velocità ad un singolo istante di tempo, per esempio quello iniziale. Otteniamo infatti $x_0=A\cos\varphi$ e $v_0=\omega A \sin\varphi$ (avendo posto t₀= 0), da cui con semplici passaggi si ricava $A=\sqrt{x_0^2+v_0^2/\omega^2}$ e $\varphi=\arctan(\omega x_0/v_0)$ .

Moti relativi tra due corpi

L’ultimo concetto che vogliamo introdurre in questa lezione è quello di moto relativo tra due corpi. Definiamo in particolare la

posizione relativa tra i corpi 1 e 2: $x_{1,2}(t)=x_2(t)-x_1(t)$

Questa definizione corrisponde quindi semplicemente alla distanza tra i due corpi, con l’aggiunta di un segno positivo o negativo a seconda di quale dei due corpi è più avanti nel verso dell’asse di riferimento.

Analogamente possiamo definire la

velocità relativa: $v_{1,2}(t)=v_2(t)-v_1(t)$

che è utile per esempio per capire la velocità d’impatto tra due automobili che si stanno urtando lungo un’autostrada, oppure la velocità con cui aumenta o si riduce la distanza tra queste.

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